La respuesta exacta, y el atajo
Cualquier cosa que crece el mismo porcentaje cada período se duplica con un calendario fijo. El tiempo exacto sale de los logaritmos; la regla del 70 es la versión de servilleta.
Las dos coinciden bastante a tasas normales y se separan solo cuando la tasa se hace grande, donde la aproximación detrás de la regla del 70 empieza a forzarse.
Cómo se compensan tasa y tiempo
| Tasa por período | Duplicación exacta | Regla del 70 |
|---|---|---|
| 2% | 35,0 | 35 |
| 7% | 10,24 | 10 |
| 10% | 7,27 | 7 |
| 100% | 1,00 | 0,7 |
La última fila muestra dónde se rompe el atajo: a 100% de crecimiento la cantidad se duplica de verdad en exactamente un período, pero 70/100 = 0,7 queda muy lejos. La regla del 70 es para tasas pequeñas y constantes.
Por qué sorprende
El crecimiento exponencial cuesta de intuir porque el avance inicial parece lento. Una cantidad que se duplica cada diez períodos casi no se mueve los primeros, y después suma más en el último período que en todos los anteriores juntos. El tiempo de duplicación es la forma honesta de describir ese ritmo en un solo número.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del tiempo de duplicación?
t = ln(2) / ln(1 + r), donde r es la tasa de crecimiento por período escrita como decimal. A 7% por período eso da 0,6931 / ln(1,07) = 0,6931 / 0,06766 = 10,24 períodos. Es exacta para el crecimiento compuesto constante, a diferencia del atajo de la regla del 70.
¿Qué es la regla del 70?
Un atajo mental: divide 70 entre la tasa de crecimiento en porcentaje para estimar el tiempo de duplicación. A 7% da 70 / 7 = 10 períodos, cerca del exacto 10,24. Funciona porque ln(2) ≈ 0,693 y, para tasas pequeñas, ln(1 + r) ≈ r, así que la razón es cercana a 69,3 / (100r). Hay quien usa 72 porque se divide más fácil.
¿Por qué un cambio pequeño en la tasa importa tanto?
Porque el tiempo de duplicación es inversamente proporcional a la tasa. Un crecimiento del 2% duplica en unos 35 períodos; el 4% duplica en unos 18, no en 33. Reducir la tasa a la mitad casi duplica el tiempo, así que diferencias pequeñas en la tasa se acumulan en diferencias grandes de resultado a largo plazo.
¿Sirve para decaimiento o para algo que se reduce?
La misma idea da una vida media: cuánto tarda en caer a la mitad a una tasa de descenso constante, usando ln(0,5) / ln(1 + r) con r negativo. Esta calculadora se centra en el crecimiento, pero la matemática es la imagen especular.
¿El crecimiento real es alguna vez tan constante?
Rara vez. Las poblaciones, los precios y las inversiones crecen a tirones, así que un modelo de tasa constante es una aproximación. Aun así es útil para ver la forma del crecimiento exponencial y para comparaciones rápidas, siempre que trates el tiempo de duplicación como una guía y no como una promesa.